chapitre 1 : les intérets

Chapitre 1 : LES INTERÊTS

 INTRODUCTION

 Lorsqu’une personne, le prêteur, met un capital à la disposition d’une autre personne (emprunteur), l’emprunteur remboursera à l’échéance le montant du capital majoré d’un supplément appelé intérêts.

 Valeur acquise = capital + intérêts

Le taux d’intérêt est le rapport entre intérêt et capital. Il s’exprime le plus souvent par un pourcentage.

Les intérêts peuvent être payés :

-        à l’avance : précomptés

-        périodiquement

-        à terme échu

 

I-              les intérêts simples

Les intérêts ne s’ajoutent pas au capital. Ils ne produiront pas eux-mêmes des intérêts.

 Calcul de la valeur acquise : (exemples) 

  • prêts de 100€ pendant 2 ans à 6% l’an. Remboursement à terme échu.

-        intérêts : 100 x 0,06 x 2 = 12€

-        valeur acquise : 100 + 12 = 112€

 

  • prêt de 100€ pendant 6 mois à 6% l’an :

-        intérêts : 100 x 0,06 x 6/12 = 3€

-        valeur acquise : 100 + 3 = 103€

 

  • prêts de 600€ pendant 55 jours à 6% l’an :

-        intérêts : 600 x 0,06 x 55/360 = 5,5€

-        valeur acquise : 600 + 5,5 = 605,5€

 

II-            les intérêts composés

Les intérêts s’ajoutent périodiquement au capital pour produire eux-mêmes des intérêts.

A/ exemple

Soit un prêt de 1 000€ pendant 3 ans au taux de 5%l’an remboursable à terme échu.

période

Capital du en début de période

Intérêt de la période

Capital du en fin de période (valeur acquise)

1

1000

50

1050

2

1050

52,50

1102,50

3

1102,50

55,13

1157,63

Les intérêts ont une progression géométrique : r(1+i)

B/ généralisation

 Co - capital emprunté

N - nombre de périodes

I - taux d’intérêt par période

Cn - valeur acquise par le capital au bout de n périodes.

Cn = Co x (1+i)n

 calculons la valeur acquise par une somme de 5 000€ placée à 6% pendant 10 ans à intérêts composés.

 Soit Cn la valeur acquise par le capital au bout de 10 ans

Cn = 5 000 x 1,0610

Cn = 8 954,24€

C/ formules dérivées 

-Valeur actuelle

  • quelle somme doit on placer pour obtenir 10 000€ dans 5 ans au taux annuel de 8% ?

Cn = Co x (1+i)-n  à  Co = Cn  / (1+i)n

Co = Cn x (1+i)-n

- recherche d’un taux d’intérêt

On souhaite placer 5 000€ pour obtenir une valeur acquise de 6 000€ dans 4ans.  A quel taux devra-t-on effectuer l’opération ?

Cn = Co x (1+i)n

6 000 = 5 000 x (1+i)4

(1+i)4 = 6 000 / 5 000

4√(1+i)4=4√( 6 000 / 5 000 )

i = 4√( 6 000 / 5 000 ) -1

 

i = n√ ( Cn / Co ) -1

 - recherche d’une durée

 Pendant combien de temps devra-t-on placer 8 000€ au taux de 6% pour obtenir une valeur acquise de 10 000€ ?

 Cn = Co x (1+i)n

(1+i)n = Cn / Co

ln (1+i)n = ln (Cn / Co)

n ln (1+i) = ln (Cn / Co)

 

n = ln (Cn / Co) / ln (1+i)

 -taux proportionnel / taux équivalents

Une entreprise emprunte 10 000€ à un taux de 12% annuel et rembourse chaque mois.

-        Le taux mensuel proportionnel est de 1% (12%/12) : intérêts simples

 -        Intérêts composés :

Le taux mensuel équivalent est tel que 10 000 x 12% = 10 000 x (1+tm) 12

Avec tm = 12 (1+Ta) -1

 

 

 

 

 

 

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